什么是微分形式啊

从我们学过的《多元微积分》中，可以提取出如下记忆的碎片：

如果 n 维欧氏空间 Rⁿ 上的 多元函数 f: Rⁿ → R，存在任意阶连续偏导，则称 f 为光滑函数。将 Rⁿ 上 的全体光滑函数，记为：C^∞。

给定任意 光滑 f ∈ C^∞，在任意一点 x = (x¹, ..., xⁿ) ∈Rⁿ 处的 增量函数（Δx =(Δx¹, ..., Δxⁿ) ∈ Rⁿ）：

在 x 点的 附近的邻域 U 内，近似于 一个 称为 f 的（全）微分 的 线性函数：

即，有（全）微分式：

其中o(ρ) 称为 ρ 的无穷小量，满足：

注：这里 变量 的上标，和 变量下标一样，表示变量序号而非指数。

设，e₁ = (1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1) 是 Rⁿ 的标准单位正交基，则 Δx 可以表示为：

Δx = Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n

再根据 线性函数的性质（对于任意 Δx, Δy ∈ Rⁿ, λ ∈ R）：

A(Δx + Δy) = A(Δx) + A(Δy)

A(λΔx) = λA(Δx)

有，

df = A(Δx) = A(Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n) = Δx¹A(e₁) + ... + ΔxⁿA(e_n)

当 A 确定是，A(e₁), ..., A(e_n)都是 常数，令，K₁ = A(e₁), ..., K_n = A(e_n)，于是f 的微分 可以改写为：

df = K₁Δx¹ + ... + K_nΔxⁿ

对于任意 Kᵢ，令 Δxʲ = 0 (j ≠ i) ，则，

|Δx| = √(Δx⋅Δx) = √(Δx¹Δx¹ + ... + ΔxⁿΔxⁿ) = √(Δxⁱ Δxⁱ ) = |Δxⁱ |

进而 从 f 的 微分式 得到：

Δf = KᵢΔxⁱ+ o(|Δxⁱ |)

Kᵢ = Δf /Δxⁱ -o(|Δxⁱ |)/Δxⁱ

然后等式两边取极限，有，

令，

则，最终 f 的微分，改写为：

特别地当 n = 1，即， f 是一元函数，时，有，

df = f' Δx

考虑 R¹ 上的 一元函数 y = x，y 的微分为，

dy = y'Δx = 1Δx=Δx

而，因为 y = x，所以

dy = dx

于是我们得到：

最终 f 的微分 改写为：

可以证明如下引理：

对于经过 x ∈ Rⁿ 点 的 任意 光滑函数 f ∈ C^∞ ，存在 一组光滑函数 gᵢ ∈ C^∞ （i = 1, ..., n） 满足：

并且对于 x 附近邻域 U 内任意 一点 u = (u¹, ..., uⁿ)，都有：

令 u = x + Δx，则 上面的引理，可改写为：

如果将 dx¹, ..., dxⁿ 看做 一组基，C^∞ 中的 光滑函数 标量，则 上面的结果 表明：任意一个 x 点处 的增量函数 Δf，在 U 内可以被 dx¹, ..., dxⁿ 线性表示。

于是以 dx¹, ..., dxⁿ为基 以 C^∞ 中的 光滑函数 为 标量，可以张成 一个 n维线性空间，记为 V¹。它是 U 内 x 点处的 增量函数 的 全体。对于任意 ω∈V¹，都有：

ω = g₁dx¹ + ... + g_ndxⁿ

称为 1 次微分形式。

一般我们不去讨论 dxⁱ 本身的意义只是看做一个形式，但是如果深究，则可以考虑 下标函数：eⁱ(x) = xⁱ有，

定义 任意 微分形式 ω₁ 和 ω₂ 之间的 一种 以 ∧ 为运算符号的， 称为 外积（楔乘）的 运算：

ω₁ ∧ ω₂

满足（对于 任意 ω₁, ω₂, ω₃ ∈ V¹,g ∈ C^∞）：

结合律： (ω₁ ∧ ω₂) ∧ ω₃ =ω₁ ∧ (ω₂ ∧ ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ ∧ ω₃；

与数乘可交换：(gω₁) ∧ ω₂ = g(ω₁∧ω₂) = ω₁ ∧ (gω₂) ；

分配律：(ω₁ +ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ ω₃ +ω₂ ∧ ω₃, ω₁ ∧ (ω₂ + ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ + ω₁ ∧ ω₃；

反交换律：ω₁ ∧ ω₂ = - ω₂ ∧ ω₁；

对于 任意 ω ∈ V¹，根据反交换律 有：

ω ∧ ω = - ω ∧ ω

进而

ω ∧ ω + ω ∧ ω = 0

(1 + 1)ω ∧ ω = 0

2ω ∧ ω = 0

ω ∧ ω = 0

所以

dxⁱ ∧ dxⁱ = 0

这样以来对于任意 两个 1 次微分形式：

ω₁ = g¹₁dx¹ + ... + g¹_ndxⁿ

ω₂ =g²₁dx¹ + ... + g²_ndxⁿ

之间的 楔乘 为：

令，

得到：

这个称为 2 次微分形式。

类似地通过 k 个 1次微分形式 的 楔乘，可以得到 k 次 微分形式：

将，k 次微分形式的全体，记为 V²，它是 以 C(n, k) 个：

为 基 的C(n, k) 维 线性空间。

由于 dxⁱ ∧ dxⁱ = 0，所以当 k = n 时，Vⁿ 的积 只有一个：

dx¹ ∧ ⋯ ∧ dxⁿ

而，当 k > n 时，Vᵏ = {0}。

为了一致性，我们令 V⁰ = C^∞，显然 1 是V⁰ 的基，有，

1 ∧ dxⁱ= dxⁱ

而 光滑函数：

就是 0 次 微分形式。

回到开始观察，光滑函数 f 微分 df，对于 每一个 f ∈ V⁰，都有一个 df ∈ V¹，所以 微分其实就是， V⁰ 到 V¹ 的算子，即，

利用这个结论，我们可以将 微分算子扩展到 d: Vᵏ → Vᵏ⁺¹，定义如下：

特别地d(dxⁱ ) = 0，因为 dxⁱ= 1dxⁱ ，故，

d(dxⁱ )= d1∧dxⁱ= 0∧dxⁱ= 0⋅1∧dxⁱ= 0(1∧dxⁱ) = 0 dxⁱ= 0

事实上对于任意 k 次 微分形式 ω 都有：

d(dω) = 0

这称为 庞加莱 引理。

利用微分形式我们可以得到 斯托克斯（Stokes） 公式： 设 D 是 Rⁿ 上 一个 k ( 0< k ≤ n) 维度 区域， ∂D为 D 诱导定向的边缘，则 对于 任意 k - 1 次微分形式 ω，都有：

以下令 x = x¹, y =x², z =x³。

当 n = 2, p = 2 时，对于 1次微分形式，

ω =P dx+ Q dy

有，

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy

=(∂P/∂x dx +∂P/∂y dy) ∧ dx+(∂Q/∂x dx +∂Q/∂y dy) ∧ dy

= ∂P/∂x dx ∧ dx+∂P/∂y dy ∧ dx+∂Q/∂x dx ∧ dy +∂Q/∂y dy ∧ dy

= 0 - ∂P/∂y dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy +0

= (∂Q/∂x -∂P/∂y) dx ∧ dy

于是Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 格林公式。

当 n = 3， p = 2 时，则 对于 1次微分形式，

ω = P dx + Q dy + R dz

有，

dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + R ∧ dz

=(∂P/∂x dx +∂P/∂y dy +∂P/∂z dz) ∧ dx +(∂Q/∂x dx +∂Q/∂y dy +∂Q/∂z dz) ∧ dy +(∂R/∂x dx +∂R/∂y dy +∂R/∂z dz) ∧ dz

= P/∂y dy ∧ dx +∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂z dz ∧ dy + ∂R/∂x dx ∧ dz +∂R/∂y dy∧ dz

= - P/∂y dx ∧ dy + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy - ∂Q/∂z dy ∧ dz -∂R/∂x dz ∧ dx +∂R/∂y dy∧ dz

= (∂Q/∂x - P/∂y)dx ∧ dy + (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dy ∧ dz + ( ∂P/∂z - ∂R/∂x) dz ∧ dx

于是Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 斯托克斯公式。

当 n = 3, p = 3 时，对于 2次微分形式，

ω =P dx ∧ dy + Q dy ∧ dz + R dz ∧ dx

有，

dω =dP ∧ dx ∧ dy + dQ ∧ dy ∧ dz + dR ∧ dz ∧ dx

= ∂P/∂z dz ∧ dx ∧ dy +∂Q/∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz ∧ dx

= (∂Q/∂x + ∂R/∂y + ∂P/∂z) dx ∧ dy ∧ dz

于是Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 高斯公式。

当 n = 1， p = 1 时，对于 0 次微分形式，

ω = F(x)

令 f(x) = F'(x) 有，

dω = F'(x) dx= f(x) dx

于是再令 D = [a, b]，Stokes 公式 为：

这就是 《高等数学》中的 牛顿-莱布尼兹公式。

以面用 微分形式 表示 重积分，例如，

比《高等数学》中 的 重积分的表示方法，例如，

更加合理。因为当 x = x(u, v), y = y(u, v) 时，有：

偰乘规则刚好 符合 重积分的 换位法。

最后令 G(V) 是 V⁰, V¹, ..., Vⁿ 的直和，即，

G(V) = V⁰ ⊕ V¹ ⊕ V² ⊕ ⋯⊕ Vⁿ

则 ∧ 可自然地扩展到 G(V) 上，这称为 外代数 或 Gassmann 代数。同样 微分算子 d 也可以扩展到 G(V) 上。

小石头在回答“外代数那些内容看不懂？” 中 给大家介绍 过 通过 反对称的张量 构造 外代数 实例 的方法，而这里， 微分形式 又是 另外 一个 重要的 外代数 实例。

以上小石头 仅仅是 向大家展示了 微分形式的 定义 和 最基本的性质 和 应用， 微分形式 的 最重要应用 是 嘉当 在 《微分几何》 中引入的 活动标架，陈省身和老师 都是玩 微分形式的 大师。关于 《微分几何》有很多有趣的内容，以后有机会再慢慢讲给大家！

（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）