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x的2n加一次方的收敛域

发表时间：2024-07-28 07:04:23 来源：网友投稿

若提到“x的2n+1次方的收敛域”，意为要使$x^{2n+1}$收敛，即找出使幂函数收敛的$x$的取值范围。首先回顾一下收敛的条件。对于一个实函数$f(x)$，如果存在一个实数$L$使得当$x$趋近于某个实数$c$时，$f(x)$趋近于$L$，则称函数$f(x)$在$x$趋近于$c$时收敛，记作$lim_{x

o c}f(x)=L$。对于幂函数$f(x)=x^k$，其中$k$为任意实数，我们有以下结论：

1.当$|x|<1$时，$x^k$在$x$趋近于0时收敛于0。例如当$k=2n+1$时，$x^{2n+1}$在$x$趋近于0时收敛于0。

2. 当$x=1$时，$x^k$始终收敛于1。

3. 当$x=-1$且$k$为偶数时，$x^k$在$x$趋近于-1时收敛于1。当$k$为奇数时，$x^k$在$x$趋近于-1时不收敛。

4. 当$x=-1$且$k$为有理数但非整数时，$x^k$在$x$趋近于-1时发散。综上所述在$x$的取值范围内，$x^{2n+1}$收敛的情况为：

1.当$|x|<1$时；1当$x=1$时；需要注意的是，在$x=-1$时，$x^{2n+1}$在$x$趋近于-1时的收敛性与$k$的奇偶性有关。

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