常见的收敛和发散的无穷级数

发表时间：2024-07-28 07:05:00 来源：网友投稿

收敛和发散是用来描述无穷级数的性质。下面是一些常见的收敛和发散的无穷级数：

1. 收敛的无穷级数：

- 几何级数：形如 a + ar + ar^2 + ar^3 + ... 的级数，其中 a 是首项，r 是公比。当公比 r 的绝对值小于 1 时，几何级数收敛，其和为 a / (1 - r)。

- 幂级数：形如 a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ... 的级数，其中 a_i 是系数，x 是变量。幂级数在其收敛半径内是收敛的。常见的幂级数包括 Taylor 级数和 Maclaurin 级数。

- 调和级数：形如 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的级数。调和级数是发散的，即无法求得有限的和。但是当取前 n 项的和时，调和级数会趋近于无穷大（即发散）。

2. 发散的无穷级数：

- 等差级数：形如 a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... 的级数，其中 a 是首项，d 是公差。等差级数只有在公差 d 为零时才能收敛，否则会发散。

- 斯特灵级数：形如 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... 的级数。斯特灵级数以阶乘的倒数为项，它是发散的，即无法求得有限的和。

- 绝对值级数：形如 |a_1| + |a_2| + |a_3| + ... 的级数。当绝对值级数收敛时，原始级数也收敛；当绝对值级数发散时，原始级数可能收敛也可能发散。

需要注意的是，对于一些级数，收敛性依赖于级数中各项的具体取值。某些级数可能在某些范围内收敛，但在其他范围内发散。所以在讨论一个级数的收敛性时，需要对级数的条件进行详细的分析。

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