函子是什么意思

（这是关于《范畴论》一系列回答的第三篇，紧接在问题：”数学范畴是什么？“ 之后，小石头将在本篇中详细讨论函子。）

先回答题主的问题：函子简单的来说就是范畴之间的映射，具体分析如下：

上一篇回答我们集中于讨论范畴的内部构造，从这篇开始，我们将焦点转移到范畴外部，看看范畴与范畴的关系。

函子

根据以往经验，初步给出函子的定义为，

给定两个范畴 C 和 D，如果 从 C 的态射 到 D 的态射 的 映射 F: MorC → MorD 能够保持 复合运算，即，满足条件1：

F(gf) = F(g)F(f)

则称 F 是C 到 D 的函子。

条件1 隐含下面的条件（若非，如此条件1，将会没有意义）：

如果 cod f = dom g 则 cod F(f) = dom F(g)。

考虑如果 cod f = A = cod f'，则 cod f= dom 1ᴀ = cod f'，再根据隐含条件，有 cod F(f) = dom F(Iᴀ) = cod F(f')，于是我们得到：

如果 cod f = cod f' 则 cod F(f) = cod F(f')。

同理还可以得到：

如果 dom g = dom g' 则 dom F(g) = dom F(g')。

上面的性质说明，函子 F 保持共端不变性，即，有共同端点的 态射 映射后 依然保持 有共同端点。于是函子 F 也可以看成 范畴对象 之间的映射，即， F: ObC → ObD。

根据范畴的定义：

假设 A 有两个 幺态射 1ᴀ 和 1'ᴀ，则 当 1ᴀ视为 幺态射时，有 1ᴀ1'ᴀ = 1'ᴀ，当1'ᴀ视为 幺态射时，有 1ᴀ1'ᴀ = 1ᴀ，两个等式联立，就得到 1ᴀ = 1'ᴀ。

这样我们就证明：每一个对象 A 对应 唯一的 幺态射 1ᴀ，根据 幺态射的唯一性，我们可以定义：

F(A) = dom F(1ᴀ) = cod F(1ᴀ)

这样以来函子 F 就既是态射之间的映射又是对象之间的映射，所以 我们干脆 将 函子 记为， F: C → D。

再考虑因为 F(f) F(1ᴀ) = F(f1ᴀ) = F(f), F(1ᴀ)F(f) = F(1ᴀf) = F(f)，所以 当 F 是满射时, F(1ᴀ) 一定是 F(A) 的幺态射 1ғ₍ᴀ₎，即，

F(1ᴀ) = 1ғ₍ᴀ₎

为了让非满射 和 满射保持一致，将 上面的 等式，作为条件2，加入函子定义。最终我们就得到函子的完整版定义：

给定两个范畴 C 和 D，如果 从 C 的态射 到 D 的态射 的 映射 F: MorC → MorD，满足

F(gf) = F(g)F(f)

F(1ᴀ) = 1ғ₍ᴀ₎

其中 F: ObC → ObD 定义为：

F(A) = dom F(1ᴀ) = cod F(1ᴀ)

则，称 F 是C 到 D 的函子，记为F: C → D，交换图如下：

接下来看一些函子的实例：

◆恒等函子

任意一个范畴 C 上态射集到自身的恒等映射 id：MorC →MorC, id(f) = f，满足函子的条件：

id(gf) = gf = id(g)id(f) , id(A) = dom(id(Iᴀ)) = A，id(Iᴀ) = Iᴀ = I_{id(A)}

称为 id 为 C 上的恒等函子，记为 1ᴄ。

◆含入函子

对于任意两个范畴 C 和 D，如果 MorC ⊆ MorD 则称 C 是 D 的子范畴，记为 C ⊆ D （如，前面的 LifeG⊆ Life，Ṙ⊆ Set），这时，可以验证， 含入映射 i:MorC → MorD, i(f) = f 满足函子的条件， 于是 称 i 为 C 到 D 的 含入函子。

◆常函子

对于 D 中的任意对象 A，可以 常值映射 F：MorC ⊆ MorD， F(f) = 1ᴀ，F显然满足函子的条件，于是称 F 为常函子。

◆忘却函子

全体 群 与 群同态，构成一个范畴，记为 Grp，而我们知道 群 与 群同态 首先 是 集合 与 映射，于是，自然就有一 个从 Grp 到 Set 的函子，它将 Grp 中 群同态 映射为 Set 中的自己，称这类函子 为 忘却函子。

◆复合函子

函子本来就是 映射，既然映射可以复合，那么函子也可以，可以证明 函子的复合 任然是 函子，称这样的函子为复合函子。

如果将 所有 范畴 看成对象，所有函子 看出态射，则 函子的复合，满足 范畴的复合运算 条件，而 每个 范畴的 恒等函子 是 该范畴的 幺态射，于是 构成 一个全体范畴的大范畴。

大范畴也是范畴，所以 大范畴的对象包括自己，而《公理集合论》规定，一个集合不能直接或间接的包含自己，这种包含自己的“集合”称为 真类，类 = 集合 + 真类。

对于一个范畴C，如果 ObC 和 MorC 都是 集合，则称 C 是小范畴，否则就是 大范畴。

有全体小范畴 和 它们之间的函子 构成的范畴，记为 Cat。Cat 一定不是小范畴，因为：假设 Cat 是小范畴，则 Cat ∈ ObCat，于是 ObCat 就不是集合，即，Cat不是小范畴，矛盾。

◆幂等函子

我们将 一个 集合 A 的 所有子集 组成的 集合 称为 A 的幂集，记为 2ᴬ，例如：A = {0, 1}，2ᴬ = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}。

对于任意 映射 f : A → B, 我们都可以引出映射 ƒ : 2ᴬ → 2ᴮ，

ƒ(X) = {f(x) | x ∈ X }, X ⊆ A (X ∈ 2ᴬ )

例如：设 B = {a, b}, f = 0 ↦ a, 1 ↦ a，则 ƒ = ∅ ↦ ∅, {0}, {1} , {0, 1} ↦ {a}。

如果 定义 P: MorSet → MorSet, P(f) = ƒ，则可以验证 P 满足函子条件，我们 称 P 为 幂等函子。

协变与反变

考虑幂等函子的定义过程，其实，我们还可以从 f 引出另外一个映射 ƒ': 2ᴮ→2ᴬ,

ƒ'(Y) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y}, Y ⊆ B (Y ∈ 2ᴮ )

就上例ƒ' = ∅, {b} ↦ ∅, {a}, {a, b} ↦ {0, 1}。

如果 定义 Q:MorSet → MorSet, Q(f) = ƒ'，我们发现，Q 在函子条件2 上 和 P 没有差别：

P(A) = Q(A) = 2ᴬ

但是在条件1上，却有些许的差别：

P(gf) = P(g)P(f)

Q(gf) = Q(f)Q(g)

也就是说 Q 对应过去的 箭头 方向和原来箭头 刚好相反。除了这一点外，Q 都符合完全函子的定义！于是，我们也认可 Q 是函子，为了区分 称 原来的函子为 协变函子，Q 这样的函子为 反变函子。反变函子的定义和 协变函子的定义类似，只不过 将 条件1 改为：

F(gf) = F(f)F(g)

依然就上例我们还能发现： ƒ 和 ƒ' 一一对应，方向相反，即，

dom ƒ' = cod ƒ,cod ƒ'= dom ƒ

但 因为

ƒ'(ƒ({0})) ={0, 1} ≠ {0}

所以ƒ' 并不是 ƒ 的逆态射 ƒ⁻¹，我们 将 ƒ' 记为 ƒᵒᵖ，称为 ƒ 的 对偶态射。

任何一个态射 f只要将 箭头方向倒过来，都可以 得到一个 对偶态射 fᵒᵖ，首此启发，如果将 范畴 C 中的 所有 态射 反向颠倒，其它保持不变，这样就会得到一个 新的 范畴，记为 Cᵒᵖ 称为 C 的对偶范畴。

一个范畴 C 和它的对偶范畴 Cᵒᵖ 之间，自然存在 函子 Rᴄ : C → Cᵒᵖ，Rᴄ(f) = fᵒᵖ，Rᴄ 是一个反变函子，反过来 Яᴄ : Cᵒᵖ → C，Яᴄ(fᵒᵖ) = f 也是一个反变函子。

对于任意 函子 F: A → B，复合函子 RʙF: A → Bᵒᵖ的 协反性 和 F 相反，而 复合函子 RʙFЯᴀ：Aᵒᵖ → Bᵒᵖ 的 协反性 和 F 相同，称 RʙFЯᴀ 为 F 的对偶函子，记为 Fᵒᵖ。

多元函子

给定两个范畴 A 和 B，可以利用笛卡尔积定义一个新范畴，记为 A × B：

Ob(A × B) = ObA × ObB = {(A, B) | A ∈ ObA, B ∈ ObB}

Mor(A × B) =MorA × MorB = {(f, g) | f ∈ MorA, g∈ MorB}

dom(f, g) = (dom f, dom g), cod(f, g) = (cod f, cod g)

(f', g')(f, g) = (f'f, g'g)

1₍ᴀ, ʙ₎ = (1ᴀ, 1ʙ)

称 A × B 为 积范畴。

特别的令 A⁰ = 0, A¹ = 1, ..., Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A ...

我们很自然的可以定义 二元映射 F: MorA × MorB→ Mor(A × B),F(f, g) = (f, g)，则有，

F(1ᴀ, 1ʙ) = (1ᴀ, 1ʙ) = 1₍ᴀ, ʙ₎

F(f'f, g'g) = (f'f', g'g') =(f', g')(f, g)= F(f', g')F(f, g)

F(A, B) = dom F(1ᴀ, 1ʙ) = dom(1ᴀ, 1ʙ) = (dom 1ᴀ, dom 1ʙ) = (A, B)

大家会发现F 具有和 函子完全类同的构成，没错 F 就是一个二元协变函子。

具体多元函子的定义如下：

给定 一组范畴 Aᵢ (i = 1, 2, ..., r) 和一个范畴 B，如果 从 Aᵢ 的态射 到 B 的态射 的 多元映射 F: MorA₁ × MorA₂ × ... × MorAᵣ → MorB，满足

F(g₁f₁, g₂f₂, ..., gᵣfᵣ) = F(g₁, g₂, ..., gᵣ)F(f₁, f₂, ..., fᵣ)

F(1ᴀ₁, 1ᴀᵣ) = 1ғ₍ᴀ₁,ᴀᵣ₎

其中 F: ObA₁ × ObA₂ × ... × ObAᵣ → ObB 定义为：

F(A₁, ..., Aᵣ) = dom F(1ᴀ₁, ..., 1ᴀᵣ) = codF(1ᴀ₁, ..., 1ᴀᵣ)

则称 F 为 r 元协变函子。如果将条件1 中 等式右边的任意多个同序号参数互换位置，即，

F(..., gᵢ, ...)F(..., fᵢ, ...) ↦ F(..., fᵢ, ...)F(..., gᵢ, ...)

则 称 F 为 r 混合函子，全部参数互换位置，就是：

F(g₁, g₂, ..., gᵣ)F(f₁, f₂, ..., fᵣ)↦F(f₁, f₂, ..., fᵣ)F(g₁, g₂, ..., gᵣ)

这时 称 F 为 r 反变函子。

◆霍姆函子

给定范畴 C中的任意 霍姆集 Hom(A, B) 都是集合，则称 C 为局部小范畴，这时 Hom(A, B) 一定是 范畴 Set 的对象。

对于 局部小范畴 C 中的任意态射 f: A → B, g: C → D，必然有对于的 映射 h : Hom(B, C) → Hom(A, D) 定义如下：

h(x) = gxf

这里 的 h 显然是 Set 的 态射，于是我们就可以定义二元映射 H: MorC × MorC → MorSet 如下：

H(f, g)(x) = h(x) = gxf

则有：

H(1ᴀ,1ʙ)(x) =1ᴀx1ʙ = x = 1_{Hom(A, B)}

又有：

H(f'f, g'g)(x) = (f'f)x(g'g) = f'(fxg')g = f'(H(f, g')(x))g = H(f', g)(H(f, g')(x)) = (H(f', g)H(f, g'))(x)

即，

H(f'f, g'g) = H(f', g)H(f, g')

显然 H 是一个 混合函子，第一个参数 反变，第二个参数 协变。

给定C 中的对象 A，如令：

Hᴀ(f)(x) = H(1ᴀ, f) = fx1ᴀ = fx

Hᴬ(f)(x) = H(f, 1ᴀ)= 1ᴀxf = xf

则，Hᴀ, Hᴬ 为 C 到 Set 的函子，Hᴀ 协变，Hᴬ 反变。

不知不觉已经讲到 霍姆函子啦，这个有些抽象，小石头已经竭尽所能化繁为简了，希望大家不要被绕晕了。

好了这篇回答先到这里，关于函子还有部分内容，我们留在下一次，作为自然变换的引子来讲。自然变换用于揭示函子之间的某种关系，研究起来将会非常有趣呦！

（最后小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）