分式怎么样计算

发表时间：2024-07-28 07:12:47 来源：网友投稿

个人认为对本题特别适合用连分数逼近，虽然收敛速度不一定最快但从某种意义上说它确实是最佳逼近，且形式优美，易于记忆，计算简单。

先说结果：

讲具体计算之前先介绍连分数的定义和性质。连分数一般可以写成如下形式：

也可以简写作：

当为整数其他项为正整数时，我们称这样的连分数为简单连分数或正规连分数，对于本题只需用到简单连分数就够了。（以下均简称为连分数）

连分数有如下性质：

1、在丢番图逼近中，连分数为实数的最佳逼近。

2、由连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。

3、无理数都可以写成一个无限连分数，其表达式是唯一确定的。

4、用连分数表示二次无理数时，连分数的项会循环。（该性质帮助我们减少计算量，只需要找到第一个循环节就行了）

5、所有偶数编号的收敛都小于最初的数，而奇数编号的收敛都大于它。（该性质帮我们确定了上下界）

好了现在讲如何计算。

设为我们所要逼近的无理数，为向下取整

那么

对于本题来说：,

好了到这一步我们已经找到了循环部分，只会等于1或者2，二者交替出现。根据性质4，我们已经可以写出完整的连分数表达式了，即 ,为了更直观和方便计算我们还可以写成：

我们从右往左计算，计算结果写到前一个分式加号的右边。上式已经写出来的几项等于,再多算一项的话等于，根据性质5，我们有。

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