自然数集的基数

发表时间：2024-07-28 07:18:14 来源：网友投稿

在数学上基数（cardinalnumber）是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。

例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。

根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。

这样每一个集合都被划入了某一类。

任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作(或|A|，或cardA)。

这样当A与B同属一个类时，A与B就有相同的基数，即|A|=|B|。

而当A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。

如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致。

空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。

不但如此还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。

假设A，B的基数分别是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A与B的某个子集对等，就称A的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。

如果a≤β，但a≠β（即A与B不对等），就称A的基数小于B的基数，记作aa。在承认选择公理的情况下，可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等。基数可以进行运算。

设|A|=a，|B|=β，定义a+β=|{(a,0):a∈A}∪{(b,1):b∈B}|。

另，a与β的积规定为|AxB|，A×B为A与B的笛卡儿积

免责声明：本站发布的教育资讯（图片、视频和文字）以本站原创、转载和分享为主，文章观点不代表本网站立场。

如果本文侵犯了您的权益，请联系底部站长邮箱进行举报反馈，一经查实，我们将在第一时间处理，感谢您对本站的关注！