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逆映射定理公式

发表时间：2024-07-28 07:23:01 来源：网友投稿

如果A :X→Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数kU的序列的交集，k∈N，且由于A是满射，

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在k>0，使得A（kU）的闭包具有非空的内部。所以存在一个开球B（c,r），其中心为c，半径r>0，包含在A（kU）的闭包内。如果v∈V，那么c+rv和c位于B（c,r）内，所以是A（kU）的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是A（kU）−A（kU）⊂A（2kU）的极限点。根据A的线性，这意味着任何v∈V都位于A（δU）的闭包内，其中δ=r / （2k）。于是可以推出，对于任何y∈Y和任何ε>0，都存在某个x∈X，满足：

<IMGclass=texalt="||x||且<IMGclass=texalt="quad||y-Ax||

固定y∈δV。根据（1），存在某个x 1，满足||x 1||<1且||y−Ax 1||<δ / 2。定义序列{xn}如下。假设：

<IMGclass=texalt="||x_{n}||且<IMGclass=texalt="quad||y-A（x_1+x_2+cdots+x_n）||

根据（1），可以选择xn +1，使得：

<IMGclass=texalt="||x_{n+1}||且<IMGclass=texalt="quad||y-A（x_1+x_2+cdots+x_n）-A（x_{n+1}）||

所以xn +1满足（2）。设

从（2）的第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个x∈X。根据（2），序列Asn趋于y，所以根据A的连续性，有Ax=y。而且：

<IMGclass=texalt="||x||=lim_{n

ightarrowinfty}||s_n||leqsum_{n=1}^infty||x_n||

这表明每一个y∈δV都属于A（2U），或等价地，X内的单位球的像A（U）包含了Y内的开球（δ / 2）V。所以A（U）是Y内0的邻域，定理得证

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