标准谐振子振动方程

设谐振子质量为m mm，弹簧弹性系数为k kk，由胡克定律及牛顿运动定律,有m x ¨ = − k x mddot{x}=-kxmx¨=−kx

其中x xx为偏离平衡位置的距离，x ¨ ddot{x}x¨为x xx对时间t tt的二阶导数，即加速度。该方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为m r 2 + k = 0 mr^2+k=0mr2+k=0

解得r = ± k m i r=pmsqrt{frac{k}{m}}ir=±mki

其中 i ii 为虚数单位。令 ω = k / m omega=sqrt{k/m}ω=k/m，则运动方程的通解为x ( t ) = C 1 cos ⁡ ( ω t ) + C 2 sin ⁡ ( ω t ) = A 0 sin ⁡ ( ω t + ψ 0 ) x(t)=C_1 cos(omega t) + C_2 sin(omega t) = A_0 sin(omega t + psi_0)x(t)=C1cos(ωt)+C2sin(ωt)=A0sin(ωt+ψ0)

其中 A 0 A_0A0和ψ 0 psi_0ψ0由初始条件确定。

将形如x ¨ + ω 2 x = 0 ddot{x}+omega^2 x=0x¨+ω2x=0

的方程称为谐振子方程，其解为一个正弦函数（或余弦函数，两者相位相差9 0 ∘ 90^{circ}90∘），角速度为ω omegaω，初相位为ψ 0 psi_0ψ0，振幅为A 0 A_0A0，均可由初始条件确定出来。同样如果一个物理量是时间的正弦函数，那么该物理量的变化称为简谐振动。

谐振子的运动速度大小v = d x d t = A 0 ω cos ⁡ ( ω t + ψ 0 ) v=frac{dx}{dt}=A_0omega cos(omega t + psi_0)v=dtdx=A0ωcos(ωt+ψ0)

加速度大小a = d v d t = − A 0 ω 2 sin ⁡ ( ω t + ψ 0 ) a=frac{dv}{dt}=-A_0omega^2 sin(omega t + psi_0)a=dtdv=−A0ω2sin(ωt+ψ0)

运动周期T = 2 π ω T=frac{2pi}{omega}T=ω2π

频率ν = 1 T = ω 2 π

u=frac{1}{T}=frac{omega}{2pi}ν=T1=2πω

谐振子的动能K = 1 2 m v 2 = 1 2 m A 0 2 ω 2 cos ⁡ 2 ( ω t + ψ 0 ) K=frac{1}{2}mv^2=frac{1}{2}mA_0^2omega^2 cos^2(omega t + psi_0)K=21mv2=21mA02ω2cos2(ωt+ψ0)

势能V = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 0 2 sin ⁡ 2 ( ω t + ψ 0 ) V=frac{1}{2}kx^2=frac{1}{2}kA_0^2 sin^2(omega t + psi_0)V=21kx2=21kA02sin2(ωt+ψ0)

总的机械能E = K + V = 1 2 m A 0 2 ω 2 cos ⁡ 2 ( ω t + ψ 0 ) + 1 2 k A 0 2 sin ⁡ 2 ( ω t + ψ 0 ) = 1 2 k A 0 2 = 1 2 m ω 2 A 0 2 E=K+V=frac{1}{2}mA_0^2omega^2 cos^2(omega t + psi_0)+frac{1}{2}kA_0^2 sin^2(omega t + psi_0)=frac{1}{2}kA_0^2=frac{1}{2}momega^2A_0^2E=K+V=21mA02ω2cos2(ωt+ψ0)