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谐振子的振幅计算公式

发表时间：2024-07-28 07:25:46 来源：网友投稿

设谐振子质量为m mm，弹簧弹性系数为k kk，由胡克定律及牛顿运动定律,有

m x ¨ = − k x mddot{x}=-kxmx¨=−kx

其中x xx为偏离平衡位置的距离，x ¨ ddot{x}x¨为x xx对时间t tt的二阶导数，即加速度。该方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为

m r 2 + k = 0 mr^2+k=0mr2+k=0

解得

r = ± k m i r=pmsqrt{frac{k}{m}}ir=±mki

其中 i ii 为虚数单位。令 ω = k / m omega=sqrt{k/m}ω=k/m，则运动方程的通解为

x ( t ) = C 1 cos ⁡ ( ω t ) + C 2 sin ⁡ ( ω t ) = A 0 sin ⁡ ( ω t + ψ 0 ) x(t)=C_1 cos(omega t) + C_2 sin(omega t) = A_0 sin(omega t + psi_0)x(t)=C1cos(ωt)+C2sin(ωt)=A0sin(ωt+ψ0)

其中 A 0 A_0A0和ψ 0 psi_0ψ0由初始条件确定。

将形如

x ¨ + ω 2 x = 0 ddot{x}+omega^2 x=0x¨+ω2x=0

的方程称为谐振子方程，其解为一个正弦函数（或余弦函数，两者相位相差9 0 ∘ 90^{circ}90∘），角速度为ω omegaω，初相位为ψ 0 psi_0ψ0，振幅为A 0 A_0A0，均可由初始条件确定出来。同样如果一个物理量是时间的正弦函数，那么该物理量的变化称为简谐振动。

谐振子的运动速度大小

v = d x d t = A 0 ω cos ⁡ ( ω t + ψ 0 ) v=frac{dx}{dt}=A_0omega cos(omega t + psi_0)v=dtdx=A0ωcos(ωt+ψ0)

加速度大小

a = d v d t = − A 0 ω 2 sin ⁡ ( ω t + ψ 0 ) a=frac{dv}{dt}=-A_0omega^2 sin(omega t + psi_0)a=dtdv=−A0ω2sin(ωt+ψ0)

运动周期

T = 2 π ω T=frac{2pi}{omega}T=ω2π

频率

ν = 1

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