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元素定理

发表时间：2024-07-28 07:25:50 来源：网友投稿

本原元素定理

在数学中本原元素定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(α)的形式，即E可以由单个元素生成。

简介

本原元素定理

本原元素定理(the theorem of the primitive e1-ement)是判定单扩张的重要命题，是对代数扩张在什么条件下为单扩张问题的一个广泛回答。若K=F是域F的代数扩域，为F上可分元，则存在一个元素使得K=F(B)，其中B称为本原元素。特别地有限次可分扩域必为单扩域，此为本原元素定理。施泰尼茨<Steinitz, E.)给出更一般的定理：有限次扩张是单扩张的充分必要条件为其中间域的个数有限。

定理

一个有限扩张E/F有本原元，即存在α使得E=F(α)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

证明

如果F是有限域，由于E/F是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果F是无限域，但是只有有限个中间域。先证明一个引理：假设E=F(α，β)并且E和F之间只有有限个中间域，那么存在一个γ∈E使得E=F(γ)。

本原元素定理

引理的证明如下：当c取遍F的时候，对于每一个c可以做一个中间域F(α+cβ)。但是由假设只有有限个中间域，所以必定存在，，使得F(α+cβ)=F(α+cβ)。由于α+cβ，α+cβ都在这个域里，推得(c-c)β也在这个域里。由于c≠c，推得β在这个域里，于是α也在这个域里，所以E=F(α，β)是F(α+cβ)的子集，F(α+cβ)是F(α，β)的子集，于是F(α+cβ)。引理证毕。

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