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什么是留数

发表时间：2024-07-28 07:33:11 来源：网友投稿

留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念。是解析函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。

定义是：f（z）在 0

则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数，记作Res[f（z），a] 。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，立即可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。

在复分析中留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

留数定理：设D是复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外解析,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)

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