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拓扑空间的基一定是子基

发表时间：2024-07-28 07:38:48 来源：网友投稿

是的拓扑空间的基一定是子基。

首先回顾一下基和子基的定义：

- 拓扑空间$X$的一个基是$X$的一个子集$mathcal{B}$，满足$mathcal{B}$中的每个元素都是$X$中的开集，并且对于任意开集$U$和$xin U$都存在$mathcal{B}$中的元素$B$，使得$xin Bsubseteq U$。

- 若$mathcal{B}$是拓扑空间$X$的一个基，且$mathcal{B}'subseteq mathcal{B}$，则称$mathcal{B}'$是$mathcal{B}$的一个子基。

现在我们要证明的是，若$mathcal{B}$是拓扑空间$X$的一个基，则$mathcal{B}$一定是$mathcal{B}$的一个子基。

证明：

对于任意开集$U$和$xin U$，由$mathcal{B}$是$X$的一个基可知，存在$mathcal{B}$中的元素$B_1$，使得$xin B_1subseteq U$。由于$mathcal{B}subseteq mathcal{B}$，所以$mathcal{B}$也是$mathcal{B}$的一个覆盖。而根据子基的定义，对于每个$B_1in mathcal{B}$，都存在$mathcal{B}'subseteq mathcal{B}$中的元素$B_2$，使得$xin B_2subseteq B_1$。所以$mathcal{B}$是$mathcal{B}$的一个子基。

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