周期性与对称性的结论

函数周期性的几个重要结论

1、f(x±T)=f(x)(T≠0)y=f(x)的周期为T,kT(keZ)也是函数的周期

2、f(x+a)=f(x+b)y=f(x)的周期为T=b-a3、f(x+a)=-f(x)y=f(x)的周期为T=2a

4、f(xa)=(x)=y=f(x)的周期为T-2a5、f(x+a)=-y=f(x)的周期为T-2a6、f(x+a)=y-f(x)周期为T=3a7、f(x+a)=(x)+1y=f(x)的周期为T=2a8、f(x+a)=y=f(x)的周期为T-4a

9、f(x+2a)=f(x+a)-f(x)

y=f(x)的周期为T=6a

10、若p>0.f(px)=f(px-),则-号

11、y=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(>a)y=(x)周期

T=2(b-a)

推论：偶函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)→y=f(x)周期T=2a12、y=f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(>a)y=f(x)周期

T=2(b-a)

推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)y=f(x)周期T=4a13、y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(b>a)f(x)的

函数对称性的几个重要结论

（一）函数y-f(x)图象本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=(x+),则fx)具有周期性；若(a+x)=(b-x),则(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”

1、f(a+x)=f(b-x)y=f(x)图象关于直线x_(a+x)+(b-x)_a+b对

推论1：f(a+x)=f(a-x)y=f(x)的图象关于直线x=a对称推论2、f(x)-f(2a-x)y=f(x)的图象关于直线x-a对称推论3、f(-x)=f(2a+x)y=f(x)的图象关于直线x=a对称2、f(a+x)+f(b-x)-2cy-f(x)的图象关于点(，c)对称推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b→y=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)-f(2a-x)=2by=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(-x)+f(2a+x)=2by=f(x)的图象关于点(a,b)对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)

1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)图象关于Y轴对称2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y=f(x)与y=-f(x)图象关于X轴对称

4、互为反函数y-f(x)与函数y-f(x)图象关于直线y-x对称

5.函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图象关于直线x=b对称推论1：函数y=f(a-x)与y=f(a-x)图象关于直线x-0对称推论2：函数y-f(x)与y-f(2a-x)图象关于直线x-a对称推论3：函数y-f(-x)与y-f(2a+x)图象关于直线x=-a对称。