狄拉克方程是如何提出并得到证明的

我们知道薛定谔方程是非相对论性的，而K-G方程是相对论性的。但K-G方程存在着两个困难，一个是负概率困难，另一个是负能量困难。狄拉克于1928年提出了新的相对论性量子力学方程，被后人称为狄拉克方程。狄拉克方程解决了K-G方程的负概率困难。

相对论下经典的能量-动量关系式为：E^2=c^2p^2+ m^2c^4

模仿上述形式，则在量子情形下，能量-动量算符关系式为：

hat{H} = pm sqrt{hat{p}^2+m^2c^4}=pm sqrt{hat{p_x}^2+hat{p_y}^2 +hat{p_z}^2 +m^2c^4} (1)

此时算符在根号中，这不是量子力学的标准形式。

所以狄拉克于1928年，提出哈密顿量算符与动量分量的关系应该是线性相关的形式

hat{H}=pm c (a_x hat{p_x} +a_y hat{p_y} +a_z hat{p_z} +beta m c) (2)

其中a_i,beta为待定系数。

对比（1），（2）式，同时取平方得

hat{p_x}^2+hat{p_y}^2+hat{p_z}^2+m^2c^4= c(a_xhat{p_x}+a_yhat{p_y}+a_zhat{p_z}+beta mc)cdot c(a_xhat{p_x}+a_yhat{p_y}+a_zhat{p_z}+beta mc)

于是待定系数满足以下关系式（注意算符乘积的先后次序）

a_x^2=a_y^2=a_z^2=beta^2=1a_xa_y+a_ya_x=0

a_xa_z+a_za_x=0

a_ya_z+a_za_y=0

a_xbeta+beta a_x=0

a_y beta+ beta a_y=0

a_z beta+ beta a_z=0

从以上关系式可以看出，四个系数是对称的。

但上述方程组在实数和复数域内均无非零解。狄拉克认为此时可以将四个系数都看成是4

imes 4的矩阵，可以验证，以下矩阵可以满足上述方程组。

a_1= left(begin{array}{ccc}

0 sigma_x

sigma_x 0

end{array}

ight)

a_2= left(begin{array}{ccc}

0 sigma_y

sigma_y 0

end{array}

ight)

a_3= left(begin{array}{ccc}

0 sigma_z

sigma_z 0

end{array}

ight)

beta= left( begin{array}{ccc}

I 0

0 -I

end{array}

ight)

其中sigma代表2

imes 2的泡利矩阵。

哈密顿量算符hat{H}=c a_i cdot hat{p_i}+beta m c^2,i=x,y,z

则自由粒子的狄拉克方程为i hbar frac{partial}{partial t} psi=hat{H}psi，形式上与薛定谔方程类似，但哈密顿量算符的具体形式是不同的。

参考资料

【1】《量子力学 卷II》 曾谨言

【2】《狄拉克相对论电子方程的成就与影响》 [J] 张同意 ，商洛师专学报(1996).

【3】《The quantum theory of the electron》 [J] Dirac，Proceedings of the Royal Society of London. Series A(1928).

转自光能丰