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艾森斯坦判别法证明过程

发表时间：2024-07-28 07:47:13 来源：网友投稿

这是一个判别整系数多项式在有理数域上是否可约的常用方法之一，是一个判定多项式是否可约的充分但不必要条件，定理是说:

设f（x）=a0+a1x+a2x^2+......+anx^n 是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得

（1）最高次项系数an不能被p整除

（2）其余各项的系数都能被p整除

（3）常数项a0不能被p^2整除

那么多项式f（x）在有理数域上不可约。

编辑本段例子

对于素数p,多项式1+x+...+x^{p-1}是p阶分圆多项式，求证这个多项式不可约。如果直接使用艾森斯坦判别法，我们可以发现这个多项式并不满足条件，这里也说明了这个方法不是判定多项式是否可约的必要条件。现在我们做变量替换x=y+1,于是多项式变成((y+1)^p-1)/p,于是除了首项系数为1外，其余各项都是p的倍数（这个是因为对于素数p,以及1<=t<=p-1组合数c(p,t)=p!/(t!(p-t)!)显然是p的倍数。由于常数项为c(p,1)=p不是p^2的倍数，根据本判别法得出这个多项式不可约。

编辑本段证明

假设多项式f(x)满足条件而且可约，由于这个多项式模p为a_n*x^n,也就是f(x)=a_n*x^n(mod p).所以如果它可以写成两个多项式乘积假设f(x)=u(x)*v(x)=a_n*x^n(mod p).于是在模p下面u(x)和v(x)都必须是c*x^d这种形式，也就是u(x),v(x)除了最高项系数以外，其余系数都是p的倍数。于是p|u(0),p|v(0),得到p^2|f(0),也就是f(x)的常数项必须是p^2的倍数，矛盾，所以定理得到证明。

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