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单位阶跃函数的性质总结

发表时间:2024-07-28 12:22:19 来源:网友投稿

单位阶跃函数目前有三种定义,共同之处是自变量取值大于0时,函数值为1;自变量取值小于0时,函数值为0,不同之处是,自变量为0时函数值各不相同。

单位阶跃函数

第一种定义:自变量为0时函数值不确定或不定义,见北京大学吴崇试的数学物理方法第二版117页9.4式,南京大学梁昆淼数学物理方法第四版83页5.3.6式,陕西理工学院龙姝明数学物理方法 Mathematica79页5.41式)

第二种定义:自变量为0时函数值为1/2,见吴大正信号与线性系统分析第四版13页1.4-3式

第三种定义:自变量为0时,函数值为1。见吴大正信号与线性系统分析第四版102页3.2-4式关于单位阶跃序列的讨论。

从傅里叶积分变换角度看,第二种定义来得更自然,它正好可以用“符号函数与1之和”再除2来定义,而且计算逆傅里叶变换时我们必须用到这个定义。如果考虑半域问题,例如Laplace积分变换,即可以采用第一种定义,也可以采用第三种定义或 H(x) = 1/2(1+sgn(x))。

它是个不连续函数,其「微分」是狄拉克δ函数。它是一个几乎必然是零的随机变数的累积分布函数。

事实上自变量为0时的函数值在函数应用上并不重要,可以任意取。

这个函数由奥利弗·黑维塞提出。

物理意义

从物理角度讲,引入单位阶跃函数一是为了解决单位冲激函数(狄拉克Delta函数)的积分;二是系统在输入信号激励下的响应问题中,为了区分信号加入系统前后两个时点。信号加入系统开始起作用的时点称为“0时刻”后沿,记为0+,t=0+,就是t>0;输入信号要加而未加入的时点称为0时刻前沿,记为0-,t=0-,就是t<0。因而物理上一般不介入(0- ,0+)时区,因为这个时区内说不清输入信号到底加入系统了没有,实际上这个时区的宽度也不定,数学上可以认为它趋于0。于是单位阶跃函数在自变量为0处,即(0-,0+)区间上的值不予定义。这就是物理上采用第一种定义的缘故。

卷积性质

f(t)*u(t)=1/D[f(t)](D为微分算子)

这一性质不难通过Delta函数的卷积性质和卷积运算的积分性质证明。

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