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复合函数极限运算法则是怎么证明的

发表时间：2024-07-28 12:33:45 来源：网友投稿

复合函数极限运算法则也称为复合函数的极限等于极限的复合函数，即设函数f(x)在点x0处极限存在，且存在函数g(t)在点t0处极限存在，且f(x)在点x0处的极限等于t0，那么极限lim(x→x0)[g(f(x))]存在，并且等于lim(t→t0)[g(t)]。下面是复合函数极限运算法则的证明思路：首先根据题意，假设lim(x→x0)[f(x)] = t0，那么我们需要证明lim(t→t0)[g(t)] = lim(x→x0)[g(f(x))]。根据g(t)在t=t0处的极限存在，我们可以设lim(t→t0)[g(t)] = A。然后我们需要证明lim(x→x0)[g(f(x))]也等于A。根据lim(x→x0)[f(x)] = t0，我们可以根据定义找到一个邻域N1，使得当x在N1内时，f(x)趋近于t0。根据lim(t→t0)[g(t)] = A，我们可以找到一个邻域N2，使得当t在N2内时，g(t)趋近于A。由于f(x)在点x0处的极限等于t0，所以对于上述找到的邻域N1内的x，必有f(x)也在邻域N2内。所以我们可以得到g(f(x))在邻域N1内的极限等于A。综上我们通过定义和极限的性质以及函数的邻域关系证明了复合函数极限运算法则，即lim(x→x0)[g(f(x))] = lim(t→t0)[g(t)]。

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