自然对数的运算法则

①loga(mn)=logam+logan；

②loga(m)=logam－logan；

③对logam中m的n次方有=nlogam；

如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n);

4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

5、log(a^n)m=1log(a)(m)

推导：

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、mn=m×n

由基本性质1(换掉m和n)

a^[log(a)(mn)]

=

a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)]

由指数的性质

a^[log(a)(mn)]

=

a^{[log(a)(m)]

+

[log(a)(n)]}

又因为指数函数

是单调函数所以

log(a)(mn)

=

log(a)(m)

+

log(a)(n)

3、与（2）类似处理

mn=m÷n

由基本性质1(换掉m和n)

a^[log(a)(m÷n)]

=

a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]

由指数的性质

a^[log(a)(m÷n)]

=

a^{[log(a)(m)]

-

[log(a)(n)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(m÷n)

=

log(a)(m)

-

log(a)(n)

4、与（2）类似处理

m^n=m^n

由基本性质1(换掉m)

a^[log(a)(m^n)]

=

{a^[log(a)(m)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(m^n)]

=

a^{[log(a)(m)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m*[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式

（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底

]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)

=

[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]

=

(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]