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怎么证明A与B的对立事件相互独立

发表时间：2024-07-28 13:00:03 来源：网友投稿

若A与B的对立事件相互独立，则有以下两个条件：

1. 事件A和事件B的概率均已知。

2. 事件A和事件B的对立事件的概率均可以由事件A和事件B的概率计算出来。

具体证明过程如下：

设事件A和事件B的概率分别为P(A)和P(B)，则事件A的对立事件为非A，记为A'，事件B的对立事件为非B，记为B'。

由于A和A'是对立事件，所以有P(A) + P(A') = 1；同理，P(B) + P(B') = 1。

根据条件2，可以得到：

P(A') = 1 - P(A)；

P(B') = 1 - P(B)。

所以事件A'和事件B'的概率可以表示为：

P(A'∩B') = P(A') × P(B') = (1 - P(A)) × (1 - P(B))；

P(A'∩B) = P(A') × P(B) = (1 - P(A)) × P(B)；

P(A∩B') = P(A) × P(B') = P(A) × (1 - P(B)))。

由于A和B是对立事件，所以有：

P(A∩B) = 0。

根据条件1，可以知道P(A)和P(B)的值，代入上述公式计算得到：

P(A'∩B') = (1 - P(A)) × (1 - P(B))；

P(A'∩B) = (1 - P(A)) × P(B)；

P(A∩B') = P(A) × (1 - P(B)))。

将上述三个式子相加，得到：

P(A'∩B') + P(A'∩B) + P(A∩B') = (1 - P(A)) × (1 - P(B)) + (1 - P(A)) × P(B) + P(A) × (1 - P(B))) = 1 - P(A) × P(B) + P(A) + P(B) - 2 × P(A) × P(B) = 1 - P(A) × P(B)。

又因为P(A∩B) = 0，所以有：

P(A'∩B'∪A'∩B∪A∩B') = P(A'∩B') + P(A'∩B) + P(A∩B') = 1 - P(A) × P(B)。

所以A与B的对立事件相互独立。

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