气体流动性方程推导

气体流动性方程是描述气体在流动过程中的物理量变化的方程。它可以用来计算气体的流量、速度、压力等参数。

根据质量守恒定律和动量守恒定律，可以推导出气体流动性方程。

首先考虑质量守恒定律。对于一个控制体，其质量变化率等于进出口质量流率之差，即：

$$frac{dM}{dt}= dot{m}_{in} - dot{m}_{out}$$

其中$M$为控制体的质量，$dot{m}_{in}$为进口的质量流率，$dot{m}_{out}$为出口的质量流率。根据连续性方程，进口和出口处的气体密度和速度之积相等，即$

ho_1 u_1 =

ho_2 u_2$，其中$

ho$为气体密度，$u$为气体速度。所以可以将质量流率表示为：

$$dot{m} =

ho A u$$

其中$A$为流道横截面积。将进口和出口处的质量流率代入质量守恒定律中，得到：

$$frac{d(

ho A L)}{dt} =

ho_1 A_1 u_1 -

ho_2 A_2 u_2$$

其中$L$为流道长度。移项并除以$L$，得到：

$$frac{partial

ho}{partial t} + frac{1}{A}frac{partial (

ho u A)}{partial x}=0$$

这就是气体质量守恒方程，也称为连续性方程。

接下来考虑动量守恒定律。对于一个控制体，其动量变化率等于进出口动量流率之差。由于气体分子间的碰撞，气体分子具有动量，故气体的动量守恒方程可以表示为：

$$frac{d(

ho u V)}{dt} = F_{in} - F_{out}$$

其中$V$为控制体的体积，$F_{in}$和$F_{out}$为进口和出口处的动量流率，包括气体分子的动量和压力的贡献。根据牛顿第二定律，可以将进口和出口处的动量流率表示为：

$$F =

ho A u^2 + p A$$

其中$p$为气体压力。将进口和出口处的动量流率代入动量守恒定律中，得到：

$$frac{partial (

ho u)}{partial t} + frac{1}{A}frac{partial (

ho u^2 A + p A)}{partial x}=0$$

这就是气体动量守恒方程，也称为动量方程。

综合质量守恒方程和动量守恒方程，可以得到气体流动性方程：

$$frac{partial

ho}{partial t} + frac{1}{A}frac{partial (

ho u A)}{partial x}=0$$

$$frac{partial (

ho u)}{partial t} + frac{1}{A}frac{partial (

ho u^2 A + p A)}{partial x}=0$$

$$frac{partial p}{partial x} =

ho frac{partial u}{partial t} + u frac{partial

ho}{partial t} + u frac{partial u}{partial x}$$

这三个方程描述了气体在流动过程中质量、动量和能量的变化。它们是气体流动学中的基本方程，可以用来解决气体流动问题。