中线公式的推导
发表时间：2024-07-28 15:31:41
来源：网友投稿
若AD是△ABC的中线，则有：AD＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。
利用勾股定理推导。
过A作AE⊥BC，垂足为E。
一、当D、E重合时，则有：AB＝AC、BD＝BC/2。
由勾股定理有：AD^2＝AB^2－BD^2＝AB^2－BC^2/4＝（1/4）（4AB^2－BC^2），
∴AD＝（1/2）√（4AB^2－BC^2）＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）。
二、当E在线段CD上时，
由勾股定理有：AE^2＝AB^2－BE^2、AE^2＝AC^2－CE^2，
∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BE^2－CE^2＝AB^2＋AC^2－（BD＋DE）^2－（CD－DE）^2，
∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BD^2－2BD×DE－DE^2－CD^2＋2CD×DE－DE^2，
而BD＝CD＝BC/2，
∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－2（BC/2）^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2。
再由勾股定理，有：AE^2＝AD^2－DE^2，代入上式中，得：
2AD^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2，
∴4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2，
∴AD＝（1/2）√（AB^2＋AC^2－BC^2）。
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