二次函数的值域和性质

发表时间：2024-07-28 18:01:52 来源：网友投稿

二次函数的定义域为R或任意指定的区间[p,q]

求值域方法（相当于求出在此区间上的最大及最小值）：

1）将二次函数配方f(x)=a(x-h)^2+c, 得出对称轴x=h

2）如果对称轴在区间内，则最大值(a<0时）或最小值(a>0时)为f(h)=c,

另一个最值在区间端点(比较p,q哪个距离h更近，也可以直接比较f(p),f(q)的大小。）

3）如果对称轴不在区间内，则最值都在端点上，比较f(p), f(q), 大的即为最大值，小的即为最小值。

性质：

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )

当-b/2a=0，〔即b=0〕时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b2－4ac乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b2〕/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a≠0)

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b2)/4a，正无穷）；

②[k，正无穷）

奇偶性：非奇非偶（当且仅当b=0时，函数解析式为f（x）=ax2+c, 此时为偶函数）

周期性：无

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