等价无穷小量的替换是必须分子分母同时替换吗
发表时间：2024-07-28 18:22:04
来源：网友投稿
不一定。只要能保证精确度就行了。可能都用等价无穷小代替，也可能分子或分母用
那么分子分母必须是同时替换还是可只替换一个？
可替换一个也可替换两个，视方便而定。
但lim (sinx -tanx )/[√（1+x∧2)-1）√ (1+sinx)-1 ]可以只将sinx 换成 x 吗？
不可以需要注意的是是分子或分母而不是分子分母中的某一项或某几项。这是完全不同的概念。例如sinx和x等价，但（sinx-tanx）=-sinx(1-cosx)=-2sinx sin^2(x/2), 它等价于-2x(x/2)^2 =-1/2x^3,是比x高阶的无穷小.
如果将sinx以x代换，再计算x-tanx的话，结果将是不同的，这显然是错误的。如果可以这样代换tanx也用x代换，分子就是零了，最后导致无法计算，或错误。
看了你就该问题的进一步求助，再补充一下：
等价无穷小并非完全相等，只是二者之商的极限为1，所以在做乘除法时可以相互替换不改变求极限的结果。在做加减法时，二者之差未必是零，很可能是一个高阶无穷小，不可直接替换，直接替换往往导致算出的差为零（实际上不为零）。
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