伊藤公式推导过程
伊藤公式是随机微积分中的一个基本工具，它描述了随机过程的演化规律。假设 X
t
是一个随机过程，它的微小增量可以写成以下形式：
dX_t=a(t,X_t)dt+b(t,X_t)dW_t,
其中 a(t,X
t
) 是一个确定性函数而 b(t,X
t
) 是一个随机过程，dW
t
是一个布朗运动的微小增量。现在我们要推导出 X
t
的微小增量 dX
t
的期望值和方差。
首先考虑 X
t
的微小增量 dX
t
的期望值。根据期望的线性性质和 dW
t
的性质，我们可以将 dX
t
的期望拆成两部分：
begin{aligned} E[dX_t]=E[a(t,X_t)dt]+E[b(t,X_t)dW_t] =a(t,X_t)dt+E[b(t,X_t)]E[dW_t] =a(t,X_t)dt. end{aligned}
其中我们用到了布朗运动的性质 E[dW
t
]=0。
接下来考虑 X
t
的微小增量 dX
t
的方差。同样根据方差的线性性质和 dW
t
的性质，我们有：
begin{aligned} Var[dX_t]=Var[a(t,X_t)dt]+Var[b(t,X_t)dW_t] =0+Var[b(t,X_t)]E[dW_t^2] =b^2(t,X_t)dt. end{aligned}
其中我们用到了布朗运动的性质 Var[dW
t
]=dt。
综上所述我们得到了伊藤公式：
dX_t=a(t,X_t)dt+b(t,X_t)dW_t,
的微小增量 dX
t
的期望和方差：
begin{aligned} E[dX_t]=a(t,X_t)dt Var[dX_t]=b^2(t,X_t)dt. end{aligned}
这也是伊藤公式的基本形式，我们可以将其扩展到更一般的情形。
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