正四面体如何建立空间直角坐标系
正四面体有四个顶点和六条棱，可以利用其中三个顶点来建立一个空间直角坐标系。建立坐标系的步骤如下：
1. 选择三个非共面的顶点，分别记作 $A(x_1,y_1,z_1)$、$B(x_2,y_2,z_2)$ 和 $C(x_3,y_3,z_3)$。
2. 构造向量 $vec{AB}$ 和 $vec{AC}$。具体来说向量 $vec{AB}$ 的坐标可以表示为 $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$，向量 $vec{AC}$ 的坐标可以表示为 $(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$。
3. 求出向量 $vec{AB}$ 和 $vec{AC}$ 的叉积 $vec{n}$。叉积的顺序为 $vec{AB}
imes vec{AC}$，表示从向量 $vec{AB}$ 到向量 $vec{AC}$，顺时针旋转一个角度所得到的向量。$vec{n}$ 的坐标可以表示为：
$$
vec{n} = begin{pmatrix}
(y_2-y_1)(z_3-z_1) - (y_3-y_1)(z_2-z_1)
(z_2-z_1)(x_3-x_1) - (z_3-z_1)(x_2-x_1)
(x_2-x_1)(y_3-y_1) - (x_3-x_1)(y_2-y_1)
end{pmatrix}
$$
4. 向量 $vec{n}$ 的模长 $|vec{n}|$ 就是以 $A,B,C$ 三点为顶点的正四面体的体积 $V$ 的两倍。所以可以通过 $frac{|vec{n}|}{2}$ 来求出正四面体的体积 $V$。
5. 将向量 $vec{AB}$ 和 $vec{AC}$ 以及 $vec{n}$ 作为坐标轴，建立空间直角坐标系。
注意建立的坐标系不是唯一的，因为可以根据选择的三个顶点的不同而得到不同的坐标系。
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