三阶行列式计算方法叉乘
叉乘法可以用来计算 $3$ 阶行列式，具体操作如下：
设三阶行列式为
$$
begin{vmatrix}
a_{11} a_{12} a_{13}
a_{21} a_{22} a_{23}
a_{31} a_{32} a_{33}
end{vmatrix}
$$
对于第一行的每个元素 $a_{1i}$，我们都可以把它看作是一个二阶行列式。具体来说令 $A_{1i}$ 表示删去第一行和第 $i$ 列后剩余元素所构成的 $2$ 阶行列式，那么：
$$
a_{1i}
imes A_{1i} =
begin{vmatrix}
a_{22} a_{23}
a_{32} a_{33}
end{vmatrix}
imes a_{1i}^{(-1)^{1+i}} = a_{1i}^{(-1)^{1+i}}
begin{vmatrix}
a_{22} a_{23}
a_{32} a_{33}
end{vmatrix}
$$
然后取第一行元素的系数 $pm 1$，并用上述公式计算每个元素对应的二阶行列式的值，最后将它们加起来就得到了三阶行列式的值。具体来说有：
$$
begin{vmatrix}
a_{11} a_{12} a_{13}
a_{21} a_{22} a_{23}
a_{31} a_{32} a_{33}
end{vmatrix} = a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}
$$
其中
$$
A_{11} =
begin{vmatrix}
a_{22} a_{23}
a_{32} a_{33}
end{vmatrix}, ~~
A_{12} =
begin{vmatrix}
a_{21} a_{23}
a_{31} a_{33}
end{vmatrix}, ~~
A_{13} =
begin{vmatrix}
a_{21} a_{22}
a_{31} a_{32}
end{vmatrix}
$$
需要注意的是，在使用叉乘法计算三阶行列式时，我们使用的其实是向量叉乘的性质，而向量叉乘实际上是由对应的行列式公式推导而来的。具体来说如果将向量和行列式的表示方式联系起来，就可以发现它们的本质是一样的。
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