分数拆分的一般方法

方法一：利用因数的比

分数单位的分子是1，所以想拆分，必须先扩分（把分子扩大），然后拆开，再约分。因为要拆成两个分数单位的和，那么想要拆分成分数单位，那么拆分出的两个分数必须满足：分子是分母的因数。

例如把1/9拆分成两个不同分数单位的和

9的因数：

1、；

3,9。这三个因数可以组成的最简比有1:1，1:3，1:9(用最简比来去掉重复，1:3=3:9，它们的结果是一样的)。

例如用1:3，把1/9的分子和分母同时乘以(1+3)，然后再拆成两个分数。

1/9=(1+3)/36=1/36 + 3/36=1/36 + 1/12

同理利用1:1和1:9还可以得到其它两种方法。

拓展：如果想拆分成三个或更多个，可以先拆成2个，再把其中一个再拆分。或者利用三个因数的连比，例如1：

1、1，1：3：3等。

1/9=(1+3+3)/63 = 1/63 + 3/63+ 3/63 = 1/63 + 1/21 + 1/21。

方法二：把分母的平方分解成2个数的乘积

例如把1/A拆成两个分数单位的和，假设：

1、/A=1/x+1/y。那么拆成的两个分数单位的分母肯定都大于A。设拆分后的两个分母分别为A+m与A+n。即：

1/A=1/(A+m) + 1/(A+n)

把右面通分1/A=(2A+m+n)/((A+m)(A+n))

(A+m)(A+n)=A(2A+m+n)

A²+(m+n)A+mn=2A²+(m+n)A

得到A²=mn。所以把A²分解成2个数的乘积后，再分别加上分母即可。

用这种方法拆分1/9，由于9²=81，

81=1×81=3×27=9×9，所以有三种不同的拆分方法:

1/(9+1) + 1/(9+81)=1/10 + 1/90

1/(9+3) + 1/(9+27)=1/12 + 1/36

1/(9+9) + 1/(9+9)=1/18 + 1/18

任意分数拆分成两个分数单位的和

我们看一下任意一个分数是否可以拆成两个分数单位的和，上面的方法一中，我们可以想到把分子拆成分母的因数的和，这样可以约分得到分数单位。

例如问7/10是否可以拆成两个分数单位的和。

10的因数有1；

2；

5，10。其中2+5=7

所以7/10=(2+5)/10=2/10+5/10=1/5+1/2

但是9/10就不能拆成两个分数单位的和了，因为9不能拆成两个因数的和。但是9=2+2+5，我们可以把9/10拆成三个分数单位的和，即

9/10=(2+2+5)/10=2/10+2/10+5/10=1/5+1/5+1/2。

把一个分数单位拆分成两个分数单位差。

掌握上面的方法一之后，可以根据下面的例子自己思考一下：如何把一个分数单位拆分成两个分数单位差。

1/9=(3-1)/18=3/18 - 1/18=1/6 - 1/18