三心拱面积计算公式祥解
发表时间：2024-07-30 03:42:20
来源：网友投稿
三心拱的面积计算公式为：
$S=frac{1}{2}(frac{a^2}{4}+frac{b^2}{4}+frac{c^2}{4}+sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)})$
其中a、b、c分别为三角形的边长。
证明：
1. 连接三角形的三个顶点与其对应的三心，分别为内心I、重心G、垂心H。记d(G, AB)为点G到线段AB的距离。
2. 利用欧拉不等式：OH² = 9R² - a² - b² - c²，其中R为外接圆半径。
3. 将三心拱分成三个小三角形ABC、ABH、HBC和一个四边形AHIG，分别计算它们的面积。其中ABC和ABH的面积可以通过海龙公式求出，HBC的面积可以通过高度求出，AHIG的面积可以通过ABH、AHI、HIG、HGB、GBC、ABC六个小三角形的面积之和求出。
4. 将四个小三角形的面积与AHIG的面积相加，得到整个三心拱的面积，即为所求的公式。
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