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度量空间中紧集和闭集

发表时间：2024-07-30 10:43:13 来源：网友投稿

定义

紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：

任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）

具备Bolzano-Weierstrass性质

完备且完全有界

性质

紧集具有以下性质：

紧集必然是有界的闭集，但反之不一定成立。

紧集在连续函数下的像仍是紧集。

豪斯多夫空间的紧子集是闭集。

实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。

Heine-Borel定理:在Rn内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。

定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。

定义在紧集上的连续实值函数一致连续。

直观理解

从某种意义上，紧集类似于有限集。举最简单的例子而言，在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续。

类似概念

自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。

可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。

伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。

弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。

在度量空间中，以上概念均等价于紧集。

以下概念通常弱于紧集：

相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。

准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的准紧集。

局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。

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