平方与次方有什么区别

先说结论：无论如何，它们都必须相等。

因为和指的是同一个有理数，即使你把这个有理数写成，它仍然是一个确定的有理数。而的次方应当是良定义的，即不会因为你把写成不同形式而发生值的变化。高中数学回避这个问题，因为这个问题在实数域上的确不好解释。如果读者还没有学过复数或者复分析，那么这个问题只能这么回在实数域上对进行平方后，的一些性质丢失了，导致我们并不能辨别是在开三次方还是在开三次方。下为原答案供学过相关知识，或没学过但有兴趣的读者参考。这个问题就是讨论 在不是既约分数下的意义。为了说清楚这件事而不仅仅是在定义上咬文嚼字，就必须要在复数域上进行讨论。为了阅读方便，就以和为例。首先的辐角除了主值外，还有，在开三次方时，辐角变为原来的，容易发现这些辐角可以归纳成三种类别，而辐角相差整数倍的两个模相同的复数实际上就是一个复数，所以我们说有三个三次方根，其中当辐角取最后一类，也即的时候，得到的是一个负实数，即。我们说的三次方根时通常特指，并将这个值称作三次方根的主值。当我们遇到的次幂时，我们需要先进行次方，将辐角扩大为倍后再进行开方操作。以为例首先将辐角翻倍，变为，然后再将辐角变为。对进行分类讨论后，仍然能得到和上述讨论中一致的结果。可以看到用复数开方的定义处理这个问题，得到的结果是完全一致的。但我们按照来计算一个实数的方根时就会算得。这是因为在复数域中计算的平方时，结果虽为，但其辐角是有明确限制的，即。但在实数域中计算时，由于没有辐角这一性质，算得的实际上是复数域中所有辐角为的。这时候将辐角除以后就会得到个辐角不同的复数，其中有六次方根的主值。换句话讲在实数域中进行平方使我们无法分辨和的区别，计算得出的来源于而不是。那么怎么解决这个问题呢？有两种方式，一种就是把视角拓展到复数域，用复数开方的定义，对辐角进行讨论来开方（然后取主值），这时候得到的结果都是；另一种方式则是要求实数的有理数次幂的分数形式必须先化为既约分数，然后按照进行计算，这样的结果也是。无论如何由于，两者指代的是同一个有理数，而一个数的若干次幂必须是良定义的（不能有两个值），的次幂也好次幂也好必须是而不是（在取主值的意义下）。虽然已经和主题无关，但我们不妨发散思考一下，（下述讨论不考虑）为什么只有正实数才有任意次数的幂（如）？原因就是当我们求的时候，辐角也变为了倍。由于正实数的辐角主值为零，故次幂后仍有一个辐角为零的值，而这就是我们常取的主值，它仍然是个正实数。但对负实数来说辐角变为倍后，新的辐角集合中就未必有一部分辐角会落在实轴上了，这时候人为地规定一个主值就比较困难。一个特例是这时候的辐角变为，即得到一个负实数。更进一步如果是无理数，不难证明的所有辐角经过倍变换后在忽略 的整数倍的意义下也两两不等。这意味着 有无穷多个值，而这些值甚至在一个圆周上稠密。而且一般说来，这些无穷多个值的辐角主值和都不相等，但却可以任意接近，这使得讨论复数的无理数次幂是没什么价值的（因为你甚至不能确定一个主值），只有正实数的辐角主值为零，才会例外地得到一个可以定义的值。