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牛顿迭代公式的推导

发表时间：2024-07-30 13:49:08 来源：网友投稿

牛顿迭代法是一种求解非线性方程（组）的迭代方法。

其基本思想是利用函数的导数来逼近函数的零点。下面是牛顿迭代公式的推导过程：设一元非线性方程为 f(x) = 0，已知函数 f(x) 在 x0 处的导数 f'(x0) ≠ 0。

1. 首先选取一个初始近似值 x0。

2. 计算 f(x0) 和 f'(x0)。

3. 利用泰勒展开式将 f(x) 在 x0 处展开至线性项，得到： f(x0) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + O((x - x0)^2) 其中，O((x - x0)^2) 表示高阶无穷小项。

4. 令 x - x0 = h，将上式改写为： f(x0) + f'(x0)h = 0

5. 解得： h = -f(x0) / f'(x0)

6. 得到新的近似解 x1 = x0 - h。

7. 重复步骤 1-6，直至满足精度要求或达到迭代次数限制。牛顿迭代法的迭代公式为： x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))其中，x(n) 表示第 n 次迭代的结果，f'(x(n)) 表示函数 f 在 x(n) 处的导数。通过牛顿迭代法，可以逐步逼近非线性方程的解。迭代过程中每次迭代都利用前一次的解和导数来计算新的近似解，从而减小误差，直至达到所需的精度。

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