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证全体正实数构成的集合V是实数域上的线性空间，并求一组基和维

发表时间：2024-07-30 16:45:55 来源：网友投稿

要证明集合V构成实数域上的线性空间，需要验证V满足线性空间的定义，即满足加法、标量乘法和分配律、结合律、交换律、存在零元素和负元素、单位元素等八个条件。

对于V集合，加法定义为两个正实数之和仍然是正实数，标量乘法定义为任意实数乘以正实数仍然是正实数。容易验证V满足线性空间的八个条件，所以V构成实数域上的线性空间。下面来求一组基和维数：我们知道，任何一个向量空间都至少有一组基。考虑在实数域上的线性空间V中，可以选取一组基B={1}，即B中只有一个元素1，且1是正实数。因为任何一个正实数都可以用1的线性组合表示出来，即a*1=a，其中a是任意正实数。所以B={1}是V的一组基。同时V中只有一个基向量，所以V的维数为1。

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