切比雪夫不等式到底是个什么概念

发表时间：2024-07-31 02:11:48 来源：网友投稿

切比雪夫定理 chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m为大于1的任意正数。

1、定义：在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的几乎所有值都会接近平均。

2、基本概述：在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变量的几乎所有值都会接近平均。切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用。

3、证明：可从概率论的原理和定义开始证明，用现代概率论方法证明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式，特别是给出两个不等式等号成立的充要条件，这在流行的概率统计教科书中是没有的。

切比雪夫不等式对于任一随机变量X ，若EX与DX均存在，则对任意ε0，

恒有P{|X-EX|=ε}=DX/ε^2 或P{|X-EX|ε}=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|=ε}

越小P{|X-EX|ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，所以切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数的距离超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。

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