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数学正态分布怎么做

发表时间:2024-07-31 08:24:55 来源:网友投稿

正态分布也称为高斯分布,是一种连续概率分布,通常用于描述一组数据的分布。

正态分布的概率密度函数为:$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$其中,$mu$ 是分布的均值,$sigma$ 是标准差。要计算正态分布的概率,可以使用标准正态分布表或计算器。标准正态分布是指均值为 $0$,标准差为 $1$ 的正态分布。如果需要计算其他均值和标准差的正态分布,可以通过标准化变量来转化为标准正态分布。标准化变量的计算公式为:$$ z = frac{x - mu}{sigma} $$其中,$z$ 是标准化变量,$x$ 是原始变量,$mu$ 是均值,$sigma$ 是标准差。例如要计算 $X sim N(3;2)$ 在 $x=5$ 处的概率,可以先将 $X$ 转化为标准正态分布变量 $Z$,即:$$ Z = frac{X - mu}{sigma} = frac{5 - 3}{2} = 1 $$然后在标准正态分布表或计算器中查找 $Z=1$ 对应的概率,即为 $0.8413$。所以$X=5$ 的概率为:$$ P(X=5) = P(Z=1) = 0.8413 $$如果需要计算 $X$ 在某个区间的概率,可以先将区间转化为标准化区间,然后使用标准正态分布表或计算器计算概率。例如要计算 $X sim N(3;2)$ 在 $x in [1;5]$ 区间内的概率,可以先将区间转化为标准化区间:$$ frac{1-3}{2} leq frac{X-3}{2} leq frac{5-3}{2} $$即,$$ -1 leq Z leq 1 $$然后在标准正态分布表或计算器中查找 $Z=-1$ 和 $Z=1$ 对应的概率,分别为 $0.1587$ 和 $0.8413$,所以$X in [1;5]$ 的概率为:$$ P(1 leq X leq 5) = P(-1 leq Z leq 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 $$

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