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反正切函数求导公式推导

发表时间：2024-07-31 08:35:41 来源：网友投稿

要推导反正切函数的导数公式，可以利用反函数求导法。

首先我们将反正切函数表示为[y = arctan(x)]然后对两边同时求导：[frac{dy}{dx} = frac{d}{dx}(arctan(x))]对右侧的函数使用链式法则，令 (u = arctan(x))，那么 (x = an(u))，所以：[frac{dy}{dx} = frac{d}{du}(arctan(x)) cdot frac{du}{dx}]接下来，我们可以计算各项的导数。根据反正切函数的定义，可以得到：[frac{d}{du}(arctan(x)) = frac{1}{1+x^2}]另外对于 (u = arctan(x))，利用三角函数的关系可以得到：[frac{du}{dx} = frac{1}{sec^2(u)} = cos^2(u)]将上面两个推导得到的结果带回原公式，可以得到最终的反正切函数的导数公式：[frac{dy}{dx} = frac{cos^2(u)}{1+x^2}]将 (u) 替换回 (x)，即可得到：[frac{dy}{dx} = frac{cos^2(arctan(x))}{1+x^2}]由于 (cos(arctan(x))) 可以用勾股定理得到，即：[cos(arctan(x)) = frac{1}{sqrt{1+x^2}}]所以最终的公式为：[frac{dy}{dx} = frac{frac{1}{(1+x^2)}}{sqrt{1+x^2}} = frac{1}{(1+x^2)sqrt{1+x^2}}]

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