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与路径无关的曲面积分怎么计算

发表时间：2024-07-31 09:09:44 来源：网友投稿

与路径无关的曲面积分可以通过对曲面内每一点的贡献进行积分来计算。

具体地设曲面为$S$，向量场为$vec{F}(vec{r})=(P(vec{r}),Q(vec{r}),R(vec{r}))$，则与路径无关的曲面积分可以表示为：$$iint_S vec{F}cdot mathrm{d}vec{S}=iint_S Pmathrm{d}ymathrm{d}z+Qmathrm{d}zmathrm{d}x+Rmathrm{d}xmathrm{d}y$$其中，$mathrm{d}vec{S}=(mathrm{d}ymathrm{d}z,mathrm{d}zmathrm{d}x,mathrm{d}xmathrm{d}y)$为曲面微元面积向量。这个积分可以通过对曲面进行参数化来计算。具体地设曲面$S$可以表示为$vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$，则有：$$iint_S vec{F}cdot mathrm{d}vec{S}=iint_D vec{F}(vec{r}(u,v))cdot (vec{r}_u imes vec{r}_v)mathrm{d}umathrm{d}v$$其中，$D$为曲面$S$在参数域内的投影区域，$vec{r}_u$和$vec{r}_v$分别为$vec{r}(u,v)$对$u,v$的偏导向量。这个积分可以通过对$D$进行二重积分来计算。

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