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曲线积分与路径无关的条件

发表时间：2024-07-31 09:09:44 来源：网友投稿

平面上曲线积分与路径无关的条件是曲线在平面内是一个保守场，即对于平面上的一个矢量场 $vec{F}(x,y)$，如果它可以写成某一标量场 $f(x,y)$ 的梯度形式，即 $vec{F}(x,y)=abla f(x,y)=(frac{partial f}{partial x},frac{partial f}{partial y})$，那么对该矢量场 $vec{F}(x,y)$ 沿任何一条起点、终点相同的可求长曲线 C 上的积分值都是相等的。

换而言之对于这样的保守场 $vec{F}(x,y)$，曲线积分就只与曲线的起点和终点有关，而与具体的路径选取无关。此时我们称这个保守场 $vec{F}(x,y)$ 为一个势场，并把 $f(x,y)$ 称为该势场的势函数。需要注意的是，平面上曲线积分与路径无关的条件并非所有矢量场都满足。例如$vec{F}(x,y)=(-y,x)$ 就不属于保守场，因为它所对应的旋转向量场不为零。所以在计算曲线积分时需要根据具体问题判断矢量场是否属于保守场。

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