正态分布dx公式
发表时间:2024-07-31 09:42:22
来源:网友投稿
正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]其实就是均值是u,方差是t^2。
于是:∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t(*)积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域。
(1)求均值对(*)式两边对u求导:∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得:∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0把(u-x)拆开,再移项:∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx也就是∫x*f(x)dx=u*1=u这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u。
(2)方差过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了。对(*)式两边对t求导:∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π移项:∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2也就是∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。
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