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等比数列求和公式运用

发表时间：2024-07-31 09:45:08 来源：网友投稿

等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比。来看下面这道题：【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。通过观察会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。

21=2；42=2；84=2；……1024512=2。所以这个题目就是典型的等比数列求和题，公比是2。例1中，如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错。在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。错位相减法令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，G老师让A这个式子再乘以数列的公比，会得到什么呢？2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，这样我们构造出了一个新数列，而且这个数列的和等于原数列乘以公比。再将两个式子相减，G老师手写左边是2A-A=A；右边是2048-1；等式右边其余的项都已经抵消了。这样我们就得出结果了，1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047再来看看下面这道题【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。令A=3+9+27+81+243+729+2187；则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；两式相减；

3A-A=2A=6561-32A=6558A=65582=3279所以；

3+9+27+81+243+729+2187=3279总结一下，等比数列的一般规律。等比数列中公比=后一项前一项；末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）。注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘如【例2】中，末项是2187，首项是3，项数n=7。

2187=3×3^(7-1)等比数列的和=(末项x公比-首项)(公比-1)

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