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1-无穷小的无穷大次方的极限

发表时间：2024-07-31 10:24:22 来源：网友投稿

1的无穷次极限利用e^lim[g(x)lnf(x)] 与e^a，a=limf(x)g(x)转化后，可先化简，再利用洛必达法则或者等价无穷小等来求极限。

1的无穷次方是极限未定式的一种，未定式是指如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim [f(x)/g(x)] (x→x0或者x→∞)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，也称未定型。未定式通常用洛必达法则求解。

扩展资料：极限的性质：

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”。证明：im f(x)^g(x)=lim e^[in(f(x)^g(x))]=lim e^[g(x)inf(x)]=e^[lim [g(x)inf(x)] ]知道im f(x)^g(x)是关于x的1的无穷次方类型的极限所以f(x)->1 ,g(x)->∞所以inf(x)->0我们已经知道当t->0时，e^t-1 -> t我们令t=inf(x),则e^inf(x)-1 -> inf(x)所以 inf(x) 与 e^inf(x)-1 (即f(x)-1) 为等价无穷小所以im f(x)^g(x)=e^[lim [g(x)inf(x)] ]=e^[lim g(x)[f(x)-1] ]令y＝[1+(a/x)]^x两边同时取自然对数,得：㏑y＝㏑{[1+(a/x)]^x}即㏑y＝x㏑[1+(a/x)]lim(x→∞)x㏑[1+(a/x)]＝lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）根据洛必达法则：lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）＝lim(x→∞){(-a/x²)[x/（x+a）]}/(-1/x²)＝lim(x→∞)ax²/[x（x+1）]＝lim(x→∞)2ax/2x+a＝2a/2＝a∴lim(x→∞)[1+(a/x)]^x=e^a至于lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e的证明,把a换成1就行了

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