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函数无穷小怎么证明

发表时间：2024-07-31 13:55:27 来源：网友投稿

假设函数f(x)在点x=0处是无穷小量，即lim x→0 f(x)=0。

我们可以证明f(x)是无穷小量：当x→0时，f(x)→0首先我们可以证明f(x)是连续的。因为f(x)是无穷小量，所以lim x→0 f(x)=0。根据极限的性质，我们可以得出f(x)在点x=0处是连续的。接下来我们证明f(x)在点x=0处是可导的。根据定义f'(0)等于lim x→0 (f(x)-f(0))/(x-0)。因为f(0)=0，所以f'(0)=lim x→0 f(x)/x。因为f(x)是无穷小量，所以lim x→0 f(x)=0。根据极限的性质，我们可以得出f'(0)=lim x→0 f(x)/x=0。所以f(x)在点x=0处是可导的，且f'(0)=0。最后我们可以得出f'(x)=lim x→0 [f(x+h)-f(x)]/h=lim x→0 [f(h)]/h=f'(0)=0。所以f'(x)=常数=0，即f(x)是常数。因为f(x)是无穷小量，所以f(x)=0。综上所述当x→0时，函数f(x)是无穷小量。

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