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格林公式求三角形面积

发表时间：2024-07-31 15:10:33 来源：网友投稿

只要是边不相交的简单多边形，也就是说，不仅凸多边形，还有各种奇形怪状的凹多边形，都可以用格林公式求出面积。

格林公式：若函数P(x,y), Q(x,y)在由一条或几条光滑曲线所围成的闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有iint_d(frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y})dsigma = oint_LPdx + QdyL为区域D的边界曲线，并取正方向。边不相交的简单多边形正好是由数条线段围成的闭区域，所以可以使用格林公式。令P=0, Q=x,则面积S = iint_Ddsigma = oint_Lxdy设第i个点P_i的坐标为(x_i, y_i),第i + 1个点P_{i + 1}的坐标为(x_{i + 1}, y_{i + 1}),则线段overline{P_iP_{i + 1}}的参数式为begin{cases}x = x_i + (x_{i + 1} - x_i)t y = y_i + (y_{i + 1} - y_i)tend{cases},所以int_{overline{P_iP_{i + 1}}}xdy = int_0^1(x_i + (x_{i + 1} - x_i)t)(y_{i + 1} - y_i)dt=frac{1}{2}(x_i + x_{i + 1})(y_{i + 1} - y_i),所以面积S=frac{1}{2}|sum_{i=1}^{n}(x_i + x_{i + 1})(y_{i + 1} - y_i)|。上述公式可以计算任意简单多边形的面积，包括三角形，四边形，六边形。

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