绝对值不等式是什么

在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。

它们都是通过非负数来度量的。公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|几何意义：

1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离) 相关公式：绝对值重要不等式推导过程：我们知道|x|={x，(x>

0);x，(x=0);-x，(x |a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =>

|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =>

|a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =>

|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪综合④⑤⑩⑪得到有关 绝对值(absolute value)的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0另 “→”指可双向推出绝对值不等式的几种解法（一）几何意义法例如：求不等式|x|＜1的解集不等式|x|＜1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合，所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（二）讨论法例如：求不等式|x|＜1的解集①当x≥0时，原来的不等式可以化为x＜1，∴0≤x＜1。

②当x＜0时，原来的不等式可以化为-x＜1，∴-1＜x＜0。综上所述不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（三）平方法例如：求不等式|x|＜1的解集把原不等式的两边平方可以得到：x2＜1，即x2-1＜0，即（x+1）（x-1）＜0即-1＜x小于1，∴不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

（四）函数图像法例如：求不等式|x|＜1的解集从函数观点看，不等式|x|＜1的解集表示函数y=|x|的图像位于y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围。所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。绝对值不等式：当a>0时，有 ；或x＜-a 。