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求:椭圆通径公式的推导过程

发表时间：2024-07-31 17:04:18 来源：网友投稿

推导椭圆通径公式的过程如下：假设在直角坐标系中，椭圆的长轴为2a，短轴为2b。

椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c。我们需要推导出椭圆的通径公式，即任意两条平行于椭圆的直线（通过椭圆的中心点）之间的距离d。

1. 假设我们取椭圆上的两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)。这两个点到焦点F1和F2的距离分别为r1和r2。

2. 根据椭圆的定义，任意一点到两个焦点的距离之和等于2a（椭圆的长轴），即r1 + r2 = 2a。

3. 我们可以求得r1和r2的表达式。由直角三角形性质可知，r1^2 = (x1 - c)^2 + y1^2，r2^2 = (x2 + c)^2 + y2^2。

4. 将r1和r2的表达式代入到等式r1 + r2 = 2a中，得到如下等式： (x1 - c)^2 + y1^2 + (x2 + c)^2 + y2^2 = (2a)^2

5. 展开上述等式，进行简化： x1^2 - 2cx1 + c^2 + y1^2 + x2^2 + 2cx2 + c^2 + y2^2 = 4a^2

6. 合并同类项，得到如下等式： x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 + 2cx2 - 2cx1 + 2c^2 = 4a^2 7. 在第6步的等式中，我们可以观察到x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2可以转化为点P1和P2的距离d^2，即：d^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2。

8. 将第7步的等式进行代入，得到如下等式： d^2 + 2cx2 - 2cx1 + 2c^2 = 4a^29. 移动项，得到椭圆通径公式： d^2 = 4a^2 - 2cx2 + 2cx1 - 2c^210. 最后将c^2替换为a^2 - b^2（根据焦距和椭圆的定义），得到最终的椭圆通径公式：d^2 = 4a^2 - 2cx2 + 2cx1 - 2(a^2 - b^2) = 2(a^2 + b^2) + 2cx1 - 2cx2至此，我们推导出椭圆通径公式。需要注意的是，在实际计算中，可以使用该公式来求得椭圆上任意两点之间的距离。

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