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椭圆双曲线面积公式

发表时间：2024-07-31 17:51:35 来源：网友投稿

椭圆的面积公式为 $S=\\pi ab$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长轴和短轴的半径或长度。

双曲线没有一个简单的面积公式。但是我们可以表示一个双曲线所围成的面积为其两个渐近线所限定的区域，即在 $x$ 轴上从 $x_1$ 到 $x_2$ 的面积。双曲线的标准方程为 $\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$，它的两个渐近线分别为 $y = \\frac{b}{a} x$ 和 $y = -\\frac{b}{a} x$。这样我们可以得到双曲线所围成的面积为$$S = \\int_{x_1}^{x_2} y(x) \\, \\mathrm{d}x = \\int_{x_1}^{x_2} \\frac{b}{a} x \\sqrt{1 + {\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^2 x^2} \\, \\mathrm{d}x$$这个式子不能直接用基本积分公式求解。我们可以通过换元法进行简化。令 $u = 1 + {\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^2 x^2$，则 $\\mathrm{d}u = 2 \\frac{b}{a^2} x\\, \\mathrm{d}x$。将 $x$ 用 $u$ 表示，则在 $x=x_1$ 时，$u=1+{\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^2{x_1}^2$，在 $x=x_2$ 时，$u=1+{\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^2{x_2}^2$。将 $x$ 和 $\\mathrm{d}x$ 用 $u$ 和 $\\mathrm{d}u$ 表示，面积 $S$ 就可以被表示为$$S = \\frac{a^2}{2b} \\left( \\sqrt{1+{\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^2{x_2}^2} - \\sqrt{1+{\\left(\\frac{b}{a}\\right)}^2{x_1}^2} \\right)$$另一方面，对于参数方程形式的双曲线 $x=a\\cosh t$ 和 $y=b\\sinh t$，其面积仍然没有一个封闭形式的公式可以计算。

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