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裂项相消法怎么裂

发表时间：2024-07-31 18:07:51 来源：网友投稿

裂项相消法是一种分数计算中常用的思维方法，将一个分数拆分成两个分数和或差的形式，从而达到简化计算的目的²。

裂项相消法主要有“裂差”与“裂和”两种²。裂差法适用于分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差的情况²。例如： $$\\frac{a-b}{ab}=\\frac{1}{b}-\\frac{1}{a}$$ 裂和法适用于分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的和的情况²。例如： $$\\frac{a+b}{ab}=\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}$$ 裂项相消法也可以用于数列求和，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项³。例如： $$\\sum_{n=1}^{N}\\frac{1}{n(n+2)}=\\sum_{n=1}^{N}\\left(\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+2}\\right)\\right)=\\frac{3}{4}-\\frac{1}{2(N+1)}-\\frac{1}{2(N+2)}$$

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