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三个向量共面详细过程

发表时间：2024-07-31 21:03:50 来源：网友投稿

3维空间中的3个向量a,b,c可以构成一个顶点在坐标系原点的四面体的3个棱。

这个四面体的体积可以表示成 |(a X b)c|, 其中，a X b 表示3维向量之间的叉积运算，运算的结果是一个和向量a,b都垂直的3维向量。(a X b)c表示a,b的叉积[向量]和向量c之间的点积运算。

2个向量之间的点积运算的结果是一个标量。| |是对一个标量取绝对值的运算。显然；3个3维向量共面时，和它们对应的四面体的体积应该为0。所以(a X b)c = 0可以作为3个3维向量a,b,c共面的1个判定条件。实际上设3阶矩阵A的3个行分别为a,b,c。则 A的行列式 = (a X b)c 所以一般用矩阵A的行列式是否为零来判断3个向量a,b,c是否共面。对于N维(N>

3)空间中的向量来说向量共面一般描述为向量属于同一个低维的子空间。由于N维空间的低维子空间的维数可以是1到N-1之间的任何一个数。所以N维空间中的所谓超平面就不止1个了。这个时候要描述向量共一个超平面，或者说向量属于同一个低维的子空间，就可以利用楼上说的方法。假设要讨论的N维(N>

3)空间的低维的子空间的维数为 n. 1<=n<N.则，这个子空间中的任何向量，都可以表示成子空间的基向量的线性组合。这个子空间的基向量，由n个线性无关的N维向量构成。所以判断m个N维向量是否共面，或者是否属于同一个n维子空间时。只要判断这m个N维向量是否线性相关就可以了。如果线性相关，就一定存在一个n维子空间(1<=n<N)，使得这m个N维向量属于这个子空间。否则这m个N维向量一定不共面。[所以任何N+k个（k>0）N维向量一定共面。]

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