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函数对xy的混合偏导怎么求

发表时间：2024-07-31 22:18:07 来源：网友投稿

函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的混合偏导可以通过下列公式求得：$$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} = \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right) = \\frac{\\partial}{\\partial y} \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)$$这个公式可以很容易地解释。

首先我们针对 $y$ 对 $f$ 进行求导，即求 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。然后针对 $x$ 对得到的结果求一次导数，即求 $\\frac{\\partial}{\\partial x} \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right)$。另一种方法是，我们对 $x$ 对 $f$ 进行求导，即求 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$。然后针对 $y$ 对得到的结果求一次导数，即求 $\\frac{\\partial}{\\partial y} \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)$。这两种方法得到的结果相同，就是函数对 $x$ 和 $y$ 的混合偏导。注意这里的求导顺序可以颠倒。也就是说我们可以先针对 $x$ 求导，然后针对 $y$ 求导，也可以先针对 $y$ 求导，然后针对 $x$ 求导。所以公式中等号两边的表达式是等价的。

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