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如何求异面直线的距离

发表时间：2024-07-31 23:25:23 来源：网友投稿

数学定义和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。

两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。常用计算方法（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。

（2）转化为求线面间的距离。过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。

（3）转化为求平行平面间的距离。过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。

（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。公共法向量可以运用向量积找到，设任意两点所连成的向量为，它们的夹角为，则异面直线的距离该公式可以这样理解：设异面直线AM和BN，其中AB是公垂线，M、N是两条直线上任意的两点。明显地MA⊥AB，NB⊥AB，根据射影的定义可知，是的射影，而就是异面直线的距离。

（5）若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离。

（6）几何公式法：设有两条异面直线a, b，a, b的公垂线AB长为d。在a上找另一点C，b上找另一点D，AC=m，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为θ。则。注意正负号的使用，当二面角C-AB-D为θ时取+，为π-θ时取-。第二公式：设异面直线a、b分别位于二面角α-l-β的半平面上，a与l交点为M，b与l交点为N，且MN=t。a与l的夹角为θ1，b与l夹角为θ2，二面角大小为θ3，a、b所成角为θ，则a、b之间距离为（7）向量公式法：设两条异面直线的方向向量为和，是两条直线上任意一点的连线的方向向量，则异面直线的距离该公式具有明显的几何意义。分子是、和所构成的平行六面体的体积，分母是该平行六面体的底面积，异面直线的距离就是平行六面体的高。根据体积公式得。参考（4）的求法，我们可以发现恰好就是两条异面直线的公共法向量，所以这两条公式从本质上来说是一样的，只不过解读的角度不同而已。

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