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求二元一次函数极值的方法

发表时间：2024-07-31 23:36:48 来源：网友投稿

类似一元函数，二元函数的极值与其偏导数密切相关．以下讨论中，我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在（即函数曲面处处光滑）．如果二元函数在某点处对的偏导数都为零，那么就叫做函数的驻点．根据式 9 ，驻点处各个方向的方向导数也都为零．

我们先来定义二元函数的极值点，以驻点为圆心在平面上作一个圆形区域，若当半径足够小时，是该圆形区域的最大值或最小值，那么该驻点就是极大值点或极小值点．与一元函数类似，驻点不一定是极值点．例如在坐标原点的两个一阶偏导都为零，但原点并不是极值点．为了判断驻点是不是极值点，也需要用到二阶偏导（假设驻点处的各个二阶偏导都存在）．如果满足

证明

类比一元函数的证明，要证明二元函数的某点是极值点，就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2．令某方向为，由式 9 得该方向的方向导数为

如果你还不习惯看算符的平方，可以把上式的括号项平方看做两个括号项，依次作用在函数上．以极小值为例，令上式恒大于零，并除以得

上式左边是关于的二次函数，若要恒大于零，则二次项系数要大于零，且判别式需小于零，立即可得式 1 ．同理可得极大值条件．

1. 根据式 1 ，只需验证或中的任意一个大于零，另外一个就必定大于零．

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